Soal Vektor dan Jawabannya

Nomor 1
Jika a = t i - 2 j + hk dan b = (t +2) i + 2 j + 3 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. 3i + 2j + 3 k
B. 5i + 2 j - 3k
C. 6i - 2j + 3k
D. - 6i - 2j + 3k
E. - i - 2 j - 3 k

Pembahasan
Karena a = - b diperoleh t i - 2j + hk = - (t +2) i - 2 j - 3 k
t = - (t +2) 
t = - t - 2
2t = -2
t = -1 lalu h = - 3
Jadi diperoleh a = -i - 2j - 3k
Jawaban: E

Nomor 2
Diketahui vektor a = 7 i + 5 j - 3k dan b = 5 i + 2 j + 3k serta c = a - b, vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 1/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 3/7 k
D. 5/7 i - 3/7 j - 2/5 k
E. 9/7 i + 6/7 j - 5/7 k

Pembahasan
Terlebih dahulu hitung nilai c: 
c = a - b = (7 i + 5 j - 3k) - (5 i + 2 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Diperoleh:


Menentukan vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B

Nomor 3
Titik A(1,4,2), B(3,1,-1), C(4,2,2). Jika a = AB, b = CA, c = b - a maka vektor c adalah...
A. (4,5,3)
B. (-5,5,3)
C. (-5,-4,3)
D. (-5,3,5)
E. (-7,-3,5)

Pembahasan
Berdasarkan soal: 
a = AB = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3)
b = CA = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0)
c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3)
Jawaban: B

Nomor 4
Jika U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...
A. √6
B. √8
C. √10
D. √12
E. √14
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu persamaan W: 
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k
Menghitung besar W 

Jawaban: E

Nomor 5
Vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k mengapit sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah...
A. √2/3
B. √3
C. √7
D. √8
E. 1

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu nilai u dan v kemudian diperoleh nilai sudutnya:

θ = 60^o
Jadi:
tan θ = tan 60^o = √3

Jawaban: B

Nomor 6

Diketahui a = 3i - 2j + k, b = 2i - 4j - 3k dan c = -i +2j + 2k, maka 2a - 3b - 5 c sama dengan...

A. 3i + 7j + 3k

B. 4i - 5j + 3k

C. 5i - 2j + k

D. 7i + 2j + 5k

E. 9i - 2 j - 5k

Pembahasan

Ganti saja nilai a, b dan c dengan persamaan yang sudah diketahui:
2a - 3b - 5 c = 2 (3i - 2j + k)

-3(2i - 4j - 3k) - 5(-i + 2j + 2k) = 5i - 2j + k 

Jawaban: C

Nomor 7

Vektor u dan vektor v membentuk sudut 60 derajat dengan IuI = 2 dan IvI = 5.  u (v + u) = ....

A.2

B.4

C.6

D. 9

E. 10

Pembahasan

Uraikan persamaan u (v + u) seperti dibawah ini: 
u (v + u) = u . v + u² = IuI IvI cos 60 + u² = 2 . 5 . 1/2 + 22 = 5 + 4 = 9

Jawaban: B

Nomor 8

Titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...

A. 1/3 √35

B. 2/5 √30

C. 3/5 √35

D. 7/5 √30 

E. 9√30

Pembahasan

Berdasarkan soal diperoleh:
AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)

AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)

Menghitung panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah:

Jawaban: B

Nomor 9

Diketahui dua vektor u = 4i - mj + 2 k dan v = 5i + 2j - 4k saling tegak lurus. Maka harga m adalah ...

A.1

B.5

C. 6

D. 9

E. 10

Pembahasan

Berdasarkan soal, u tegak lurus v maka:

u . v = 0

(4i - mj + 2k) (5i + 2j - 4k) = 20 - 2m - 8 = 0 

m = 6

Jawaban: C

Nomor 10

Misalkan D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Panjang vektor posisi d sama dengan:

A. 3

B.5

C.  √5

D.  √13

E.  √14

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu titik D: 

D titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A + B + C)

D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)

D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)

Menghitung panjang proyeksi D adalah:

Jawaban: E

Nomor 11

Misalkan titik P, Q, R segaris dan P(-1,1) dan R (3,5) dan PQ = QR maka titik Q adalah...

A. (3,4)

B. (1,3)

C. (1,4)

D. (4,3)

E. (-4,-1)

Pembahasan

Berdasarkan soal didapat:
PQ = QR maka Q - R = R - Q 

2Q = R + P 

Q = 1/2 (R + P)

Q = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)

Jawaban: B

Nomor 12
Diketahui a = t i - 8 j + h k dan b = (t +2) i + 4 j + 2 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...
A. i + 8j + 2 k
B. i + 8 j - 2k
C. i - 8j + 2k
D. - i - 8j + 2k
E. - i - 8j - 2k

Pembahasan
a = - b maka t i - 8 j + h k = - (t +2) i - 4 j - 2 k
t = - (t +2)
t = - t - 2
2t = -2
t = -1
lalu h = -2
sehingga, a = - i - 8 j - 2 k
Jawaban: E

Nomor 13
Jika vektor a = 10i + 6 j - 3k dan b = 8 i + 3 j + 3k serta c = a - b, maka vektor satuan yang searah denga c adalah...
A. 6/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k
D. 6/7 i - 3/7 j - 2/j k
E. -2/7 i + 6/7 j - 3/7 k

Pembahasan
c = a - b = (10 i + 6 j - 3k) - (8i + 3 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Sehingga

Maka vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B

Nomor 14
Diketahui titik-titik A (2, 5, 2), B (3, 2, -1), C (2, 2, 2). Jika a = AB dan b = CA dan c = b - a maka vektor c adalah...
A. (1,5,3)
B. (-1,5,3)
C. (-1,0,3)
D. (-1,3,5)
E. (-1,-3,5)

Pembahasan
a = AB = B - A = (3,2,-1) - (2,5,2) = (1,-3,-3)
b = CA = A - C = (2,2,2) - (2,5,2) = (0,-3,0)
c = b - a = (0,-3,0) - (1,-3,-3) = (-1,0,3)
Jawaban:C

Nomor 15
Diketahui U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...
A. √5
B. √7
C. √11
D. √13
E. √14

Pembahasan
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k
 
Jawaban: E

Nomor 16
Diketahui vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k menga[it sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah...
A. √2
B. √3
C. √5
D. √6
E. 1

Pembahasan

Jadi Ɵ = 60 derajat

Sehingga tan Ɵ = tan 60 = √3

Jawaban: B

Nomor 17

Jika a = i - 2j + k, b = 2i - 2j - 3k dan c = -i + j + 2k, maka 2a - 3b - 5 c sama dengan...

A. i + j + k

B. 2i - 5j + k

C. 5i - 2j + k

D. 5i + 2j + k

E. 5 i - 2 j - k

Pembahasan

2a - 3b - 5 c = 2 (i - 2j + k) -3(2i - 2j - 3k) - 5(-i + j + 2k)
2a - 3b - 5c = 2i - 4j + 2k - 6i + 6j + 9k + 5i - 5j - 10k = i + j + k

Jawaban:A

Nomor 18

Jika vektor u dan vektor v membentuk sudut 60 derajat dimana IuI = 4 dan IvI = 2, maka u (v + u) =

A. 13 

B. 15

C. 17

D. 19

E. 20

Pembahasan

u (v + u) = u . v + u² = IuI IvI cos 60 + u² 

= 4 . 2 . 1/2 + 4²
= 4 + 16 =20

Jawaban:E

Nomor 19

Diketahui titik-titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Maka panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...

A. 1/5 √30

B. 2/5 √30

C. 3/5 √30

D. 4/5 √30 

E. √30

Pembahasan

AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)

AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)

Maka panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...

= 12/30 (√30) = (2/5) √30
Jawaban: B

Nomor 20

Vektor-vektor u = 2i - mj + k dan v = 5i + j - 2k saling tegak lurus. Maka harga m haruslah...

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

E. 10

Pembahasan

u tegak lurus v maka:

u . v = 0

(2i - mj + k) (5i + j - 2k) = 10 - m - 2 = 0 

m =8

Jawaban:D

Nomor 21

Diketahui D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Maka panjang vektor posisi d sama dengan:

A. 1

B. 2

C.  √5

D.  √10

E.  √14

Pembahasan

D titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A + B + C)

D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)

D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)

Panjang proyeksi D adalah

Jawaban: E

Nomor 22

Jika titik-titik P, Q, R segaris dan P(-1,1) dan R (3,5) dan PQ = QR maka titik Q adalah...

A. (3,1)

B. (1,3)

C. (1,1)

D. (3,3)

E. (-3,-1)

Pembahasan

PQ = QR maka Q - R = R - Q 

2Q = R + P 

Q = 1/2 (R + P)

Q = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)

Jawaban: B

Nomor 23
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q.


a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom


b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j

c) Modulus vektor PQ


Nomor 24
Diketahui A (1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris, perbandingan AB : BC =...
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 2 : 5
D. 5 : 7
E. 7 : 5

Pembahasan
AB = B - A = (3,3,1) - (1,2,3) = (2,1,-2)
Besar AB = √22 + 12 + (-2)2 = 3
BC = C - B = (7,5,-3) - (3,3,1) = (4,2,-4)
Besar BC = √42 + 22 + (-4)2 = 6
Jadi perbandingan AB : BC = 3 : 6 = 1 : 2
Jawaban: A

Nomor 25
Jika vektor

maka vektor a + 2b - 3c = ...


Pembahasan


Jawaban: D

Nomor 26
Diketahui vektor

Jika proyeksi skalar ortogonal vektor u pada arah vektor v sama dengan setengah panjang vektor v, maka nilai p =...
A. -4 atau - 2
B. - 4 atau 2
C. 4 atau - 2
D. 8 atau - 1
E. - 8 atau 1

Pembahasan

8 - p = 1/2 (8 + p²)
1/2p² + p - 4 = 0
p² + 20 - 8 = 0
(p + 4) (p - 2) = 0
p = - 4 dan p = 2
Jawaban: B

Nomor 27
Diketahui vektor

Apabila vektor a tegak lurus vektor b, hasil dari 2a + b - c = ...

Pembahasan


Nomor 28
Diketahui:

dan proyeksi skalar a dan b adalah 1 1/7. Nilai x = ...
A. -2
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 2

Pembahasan

Nomor 29 (SBMPTN 2014)

Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…

A.    u.v = | w |

B.    

C.     | u-w | = | v |

D.    u – v tegak lurus w

E.     u + v tegak lurus w

PEMBAHASAN :
Diketahui:
| v – w | = | u – w |
Kedua sisi di akarkan

v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w
|v|² + |w|² – 2v.w = |u|² + |w|² – 2u.w
Dari soal diketahui | u | = | v | maka
v.w = u.w
u.w – v.w = 0
(u.w).w = 0
Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w
Jawaban : D

Nomor 30 (UN 2014)

Diketahui vektor = , = ,dan  = . Jika  tegak lurus , hasil dari +-2 =……

A.   

B.    

C.    

D.   

E.    

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Nomor 31 (SBMPTN 2014)

Vektor – vektor u, v, dan x tidak nol. Vektor u + v tegak lurus u –x , jika …

A.    | u + v | = | u – v |

B.     | v | = | x |

C.     u.u = v.v, v = -x

D.    u.u = v.v , v = x

E.     u.v = v.v

PEMBAHASAN :
Diketahui
u + v tegak lurus u – x, maka:
(u + v ) . ( u – x ) = 0
u.u –u .x +u.v – v.x = 0
Jika v = x maka
u.u – u.v + u.v – v.v = 0
u.u – v.v = 0
u.u = v.v = 0
Jawaban : D

Nomor 32 (UN 2012)

Diketahui vektor = i +2j –xk,  = 3i – 2j + k, dan  = 2i + j + 2k . Vektor  tegak lurus  maka(+ ) .( – ) adalah…

A.    -4

B.     -2

C.     0

D.    2

E.     4

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Nomor 33 (SBMPTN 2014)

Diberikan limas T.ABC.

Misalkan u =  ,v = , w = . Jika P adalah titik berat ΔABC maka =

A.    ( u + v + w )

B.     ( u + v + w )

C.     ( u + v + w )

D.    ( u + v + w )

E.     u + v + w

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Nomor 34 (UN 2005)

Diketahui titik A(6,4,7), B(2,-4,3),dan P(-1,4,2), titik R terletak pada garis AB sehingga AR:RB = 3:1. Panjang vektor PR adalah…

A.   

B.    

C.    

D.   

E.    

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Nomor 35 (SNMPTN 2010)

Diketahui , dan  vektor dalam dimensi -3 . Jika    dan   ( + 2), Maka .(2 – ) adalah …

A.         4

B.         2

C.         1

D.         0

E.          -1

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Nomor 36 (SBMPTN 2014)

Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan ….

A.    1 : 2

B.     2 : 1

C.     2 : 5

D.    5 : 7

E.     7 : 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Nomor 37 (SNMPTN 2012)

Diketahui |u| = 1 dan |v| = 2. Jika  dan  membentuk sudut 30° maka ( + ). =….

A.   

B.    

C.    

D.    3

E.     5

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Nomor 38 (EBTANAS 1989)

Titik R adalah terletak di antara titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1) yang membagi garis PQ di dalam perbandingan 2:1 maka koordinat R adalah….

A.    (0,9,6)

B.     (0,3,2)

C.    

D.   

E.     (1,8,7)

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Nomor 39

Diketahui:  dan  dan vektor  merupakan proyeksi ortogonal vektor terhadap . Jika vektor  memiliki panjang yang sama dengan vektor , maka nilai dari x adalah….

A.        

B.        

C.        

D.        

E.         

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Nomor 40 (UN 2014)

Diketahui vektor-vektor  = bi – 12j + ak dan  = ai + aj – bk. Sudut antara vektor dan vektor dan vektor  adalah θ dengan cos θ =  . Proyeksi vektor  pada  adalah  = -4i-4j+4k. Nilai dari b =…..

A.   

B.    

C.    

D.   

E.    

PEMBAHASAN :

Jawaban : B